Fonction bornée - Math'φsics

Fonction bornée

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Définition

Définition :
Soit \(f:U\to{\Bbb R}\)
On dit que \(f\) est bornée si $$\exists M\in\Bbb R\text{ tq }\forall x\in U,\quad|f(x)|\leqslant M$$

Topologie

Définition
Soit \(X\) un ensemble et \((Y,d)\) un espace métrique
On dit qu'une fonction \(f:X\to Y\) est bornée si son image \(f(X)\) est bornée

(Espace métrique)

Sous-ensemble des fonctions bornées

Exercice

Soit \(f\) continue sur \([1,+\infty[\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\in{\Bbb R}\)
Montrer que \(f\) est bornée

$$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\implies\forall\varepsilon\gt 0,\exists A\gt 0,\forall x\geqslant A, \lvert f(x)-L\rvert\leqslant\varepsilon$$

Soit \(\varepsilon=\frac12\). Alors \(\exists A\gt 0,\forall x\geqslant A,\quad L-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant L+\varepsilon\)

Sur \([1,A[\), \(f\) est bornée et atteint ses bornes d'après le théorème fondamental sur les fonctions continues
Rétroliens :